宫心计

AI推翻87年数学难题？困扰数学界的雅可比猜想，可能被三行公式证伪了_我的网站

尼基塔第三季

一 | 悬而未决 87 年的经典数学难题——雅可比猜想（Jacobian Conjecture），可能被一个只有三行公式的反例推翻了。 7 月 20 日，数学家、Anthropic 研究人员 Levent Alpöge 在社交平台 X 公布了一个三元多项式映射。它满足了雅可比猜想要求的前提条件，却违背了猜想的结论，因此构成了一个可能推翻整个猜想的反例。更引人关注的是，Alpöge 在帖子中将这一反例归功于 Anthropic 最新发布的 AI 模型 Claude Fable 5。他还表示，是朋友 Akhil 首先向模型提出这一问题，而 Fable 5 则在他们观看世界杯决赛期间持续搜索，最终找到了这一反例构造。 DeepSeek近日完成了成立以来首轮融资，融资规模约510亿元人民币，投后估值约4185亿元。

二 | 创始人梁文锋个人出资约200亿元，投资方阵营有腾讯、宁德时代体系、京东、网易、IDG资本等机构。与此同时，据多家媒体报道，DeepSeek已开始筹备中国内地IPO，最快可能于今年提交上市申请，并计划在2027年完成上市。（来源：X）消息发布后，数学界迅速展开核验。在近期的一场投资者交流会上，梁文锋进行了近4小时的分享，详细谈到了DeepSeek的组织文化、开源逻辑、技术路线以及对AI行业竞争的判断。斯坦福大学数学系助理教授 Jared Duker Lichtman 转发称这一结果“相当惊人”；MathOverflow 很快收录了相关讨论，不少研究者还利用 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立计算。

三 | 我们整理出了其中20个关键词和观点，带你看懂梁文锋眼中的DeepSeek下一阶段。

四 | 目前，最关键的两项验证：雅可比行列式是否恒为 −2，以及三个不同点是否确实映射到同一点，均已通过公开计算验证。 1、愿景：管理一个大公司，靠的不是你的规章制度，靠的是愿景。如果后续没有发现新的漏洞，这将意味着：1939 年提出的雅可比猜想在三维情形下不成立，并可进一步推出其在所有三维及以上维数下均不成立；而二维情形仍然保持开放。被称为“民科坟场”的雅可比猜想雅可比猜想由德国数学家奥特－海因里希·凯勒（Ott-Heinrich Keller）于 1939 年提出，讨论的是一个看似简单、却困扰数学界近九十年的问题：什么时候，一个多项式映射一定能够"倒推"回原来的函数？图｜海因里希·凯勒（左）（来源：Wikipedia）理解这个猜想，可以先想象一张橡胶膜。如果局部看，每一小块都没有被撕裂或压扁，人们很自然会问：整张膜会不会在别的地方折叠起来，让两个不同的位置重合？数学里的情况与此类似。对于多变量多项式映射，如果它在每一个局部都满足一种“没有折叠”的条件，也就是雅可比行列式始终等于同一个非零常数。

五 | 那么它是否一定在整体上也是一一对应的？它的逆映射又是否仍然是一个多项式？这就是雅可比猜想。它的陈述只有短短几句话，却异常难以证明。不少数学研究者戏称它为“crank graveyard”——“民科坟场”。许多人被它吸引，最终却陷入漫长而徒劳的推导之中。愿景不是挂在墙上的标语，愿景是你怎么做——不是怎么说——是你怎么实际运行。

六 | 2、克制：克制是一种战略。著名华人数学家张益唐，就曾把整个博士阶段投入到这个问题。

七 | 就在于有时候你可以舍弃一些，来换更多其他的东西。不开源这个事，其实也是一样的，也可以认为是我们的压力，也可以认为是我们的让利。 3、主线：我们只做AGI的主线。AI领域很广泛，有很多东西我们觉得它不在这个主线上面，比如说3D、视频生成，我觉得可能跟智能的主线没有太大的关系，我们不会去做……从我们的判断，世界模型和智能还不是现在这个阶段最重要的事情。最重要的是AI训练，以及AI训练之后怎么解决持续学习。 4、持续学习：（持续学习是）下一代模型的核心能力。必须要有持续学习的能力，它才能叫下一代模型。在那之前，我们能做的就是成本，然后效果做得更好，速度做得更快。1991 年，他在普渡大学完成博士论文《雅可比猜想与域扩张的次数》，导师莫宗坚是国际上研究雅可比猜想最重要的学者之一。张益唐的工作推进了这一研究方向，却并没有解决猜想本身。但是要有大突破，它应该是具备持续学习的。 5、通用智能：持续学习先做出来，通用智能可能就很容易了——用它来做就很容易。所以我说这是一个我们比较希望看到的结果，比较省力、比较轻松。否则现在你要去人工做通用智能，它是一个比较累、比较苦，是一个数据密集、人力密集的事情，性价比也不高。 6、稳定性：我们最大的核心利益是要保持团队的稳定性。这是我们最大的核心利益，甚至可以认为是唯一的核心利益。后来，他离开代数几何，转向解析数论，并最终因证明有界素数间隔而闻名世界；雅可比猜想，则依然留在开放问题名单中。

八 | 只要我能够保持团队的稳定性，我一定能做成，一定能做成AGI，就这么简单。 1998 年，菲尔兹奖得主 Stephen Smale 将其列入著名的《下一个世纪的数学问题》（Mathematical Problems for the Next Century）第 16 题，认为它的解决将对数学发展产生重要影响。

九 | 7、中美差距：人才不是瓶颈，资源是最大的瓶颈。资源首先影响到人才培养，因为算力少，我们能做的实验机会比较少，所以我们的人才整体上比美国有差距……我们看到的所有区别，包括人才的区别、模型能力的区别、应用的区别，可以认为都是因为算力资源上的区别。过去近 90 年里，一维情形早已证明成立，二维至今仍未解决，而三维及更高维也始终没有答案。 8、管理：我们公司的管理其实是两条线，一条线是从上到下，一条是从下到上。由于这一猜想要求所有维数都成立，因此，只要在任意一个维数找到反例，整个猜想就会被推翻。三个点，击穿一个猜想而此次，Alpöge 公布的是一个从三维复空间到三维复空间的多项式映射：直接计算可知，这个映射的雅可比行列式恒等于 −2。从下而上，就是每个人自己想做什么，自己做，没有人管他，没有KPI……我们公司整体上是建立在共识的基础上的，我并不是说我一个人决定所有事情，而是我要寻求共识。我在公司内的权威以及在公司内的影响力，是建立在共识的基础上的。

十 | 由于 −2 是一个非零常数，因此它完全满足雅可比猜想的前提条件。 9、资源：我们需要多少卡？现在肯定是越多越好。在我们能够承受的范围内，肯定是卡越多越好，这是毫无疑问的。所以我们现在策略是，在合理的价格里面，能买到多少卡就买多少卡。 10、规模：我们是信Scaling，肯定是规模越大，效果越好，能够解锁更多的功能。然而，当把三个不同的点分别代入这一映射时，得到的结果却都是同一个点：这足以构成反例。原因很简单：如果多个不同的输入对应同一个输出，那么映射就不是单射。

十一 | 阻止我们Scaling的其实就是算力，并不是我们不想Scaling，是我们没有那么多的算力去做这个Scaling……我们训练这么大的模型，并不是因为我觉得这么大的模型就够了，而是我刚好有这么多资源。我是按照我的资源来算，我能够接受、能够训练的模型是多大，是这样算出来的，并不是这个模型就够了。 11、芯片：国产AI芯片的硬件和生态都没有问题，唯一有问题的是产能不够。国产卡适配这一点，没有障碍，英伟达挡不住。如果是在一个正常的商业环境里面，我能买到英伟达的卡，那么国产替代是比较难的；但是在英伟达的卡买不到的情况下，所有人都迫不得已，都要去做国产芯片……我觉得在这一点上，英伟达是在掘自己的坟墓。换句话说，当已知输出时，无法唯一确定原来的输入，因此它不可能拥有逆映射，更不可能拥有由多项式组成的逆映射。华为的950超节点，在性能和价格上可以完全平替英伟达的GB200、GB300。这与雅可比猜想的结论正面冲突。 12、未来五年：我不太相信未来五年之后，我们还卡在产能的问题上。这个反例还具有极强的可核查性。许多重大数学成果往往需要专家花费数月甚至数年时间，逐页检查上百页证明；而这个结果的核心，仅涉及两项有限的代数计算：一是验证雅可比行列式恒等于非零常数，二是验证三个不同的点确实映射到了同一个点。截至目前，这两项计算均已得到公开复核。研究者 Zihan Zhang 给出了独立的 SymPy 验证脚本，并指出，只需将其中一个输出坐标乘以 −1/2，就可以把雅可比行列式规范化为猜想中更常采用的常数 1，而这不会改变反例的本质。如果这一反例最终成立，它不仅推翻三维情形，也意味着所有更高维情形都不再成立。因为只需在三维反例后增加若干保持不变的坐标，就可以直接构造出任意更高维的反例。

十二 | 现在肯定是卡在产能问题上，今年、明年、后年，我觉得可能都还是卡在产能问题上，但五年之后，我觉得可能不一定，我还是比较乐观的。不过，二维雅可比猜想仍然是一个独立的开放问题值得补充的是，Levent Alpöge 并不是从 AI 领域半路进入数学，而是一位长期从事数论与算术几何研究的职业数学家。近年来，他才加入 Anthropic，从事人工智能研究。他本科毕业于哈佛大学，主修数学，并获得物理学硕士学位；随后在剑桥大学完成数学高级研究课程。2020 年，他在普林斯顿大学获得数学博士学位，导师是菲尔兹奖得主 Manjul Bhargava。图｜Levent Alpöge（来源：Quanta Magazine）大型语言模型兴起后，Alpöge 开始转向人工智能。他曾在个人主页写道，GPT-4 让他认为人工智能是“人类创造过的最有意思的东西”，因此重新回到计算机科学领域，希望增加这场变化产生积极结果的可能性。根据目前公开的信息，这次发现的大致过程是：Akhil 提出问题，Alpöge 将其交给 Claude Fable 5 进行探索，模型最终给出了具体的反例构造；随后，Alpöge 公开了这一构造，数学界再通过人工推导以及 Wolfram Alpha、SymPy 等工具进行了独立验证。这一过程与 AI 替数学家写出一份传统意义上的数学证明有所不同。

十三 | 对于否定一个猜想而言，并不需要解释所有可能情况，只需要找到一个满足前提、却违反结论的反例即可。 13、全球AI位置：在全球AI中主导分工的时候，中国公司很有可能扮演的一个角色还是产量最大。

十四 | 常理来讲，我们的产能最大，包括芯片，芯片可能我们的产能最大，我们的电力最多……中国人会把这产品做到最便宜，然后再在效果上（发力），毕竟国外的商品，现在很多商品中国产跟美国产并没有太大的区别。

十五 | 这样的任务天然适合计算探索：模型可以不断尝试构造候选映射、调整参数、检查雅可比条件，再寻找是否会出现不同点映射到同一点的情况。未来可能AI也是这样，但是中国产的AI可能价格会更便宜。这个便宜可能是系统性的低，就跟其他行业中国提供的服务更便宜可能是一样的。 14、AI差距：最终的差距应该是三方面：一方面成本，一方面时间，一方面用户体验。

十六 | 除此以外，可能是没有什么差距的。

十七 | 15、少即是多：拿得多的人会被拿得少的人打败。

十八 | 甚至你还不用真的拿得多，愿景如果是拿得多的话，你就会被愿景是拿得少的人给打败。如果这一反例最终得到确认，它带来的意义将十分重大。因为它展示了一种此前极少出现的研究模式：不是 AI 帮助数学家验证已经存在的思路，而是AI参与寻找一个人类 87 年来始终没有找到的数学对象。其实大家都没有拿到钱，只是一个愿景。你愿景是拿得多，你就先输了，你就会面临着更大的困难。

十九 | 从 AlphaGeometry 解决竞赛题，到 GPT、Gemini 参与证明具体命题，再到这一次可能找到推翻经典猜想的反例，大模型参与数学研究的角色正在发生变化。

| 16、多模态：多模态布局我们一直在做。它开始探索的，不再只是“答案”，而是过去只有数学家才会进入的未知搜索空间。参考链接： 1.https://x.com/leventalpoge 2.https://mathoverflow.net/questions/513387/galois-structure-of-the-new-counterexample-to-the-jacobian-conjecture-an-explic 3.https://www.leventalpoge.com/ 4.https://dataspace.princeton.edu/ 5.https://www.ams.org/prizes-awards/ams-morgan-prize 运营/排版：何晨龙注：封面由 AI 辅助生成。对产品来讲，它很重要；对C端用户产品来讲，它很重要。但是对智能的上限，它是一个组件，它不是主线本身……我们应该会上相关的模型，就是我们V4、V4的后续版本会支持原生的多模态。

| 但是我们对多模态、对智能来讲它是个组件，我们不把它当作智能本身。 17、责先利后：我们内部很多人的想法是这样的——首先要对我们自己有用。

| 当我们自己好用，那意味着可能别人也好用，但是首先得保证我们自己好用。对我们自己有用之后，我们在开发下一版模型的时候就会更快。 18、开源：在开源这个事情上面，我们一开始就想得非常清楚。

| 首先，第一个就是愿景；第二个，我们认为要把AI这个事情在商业上做成，开源是有好处的。这听起来有点矛盾，有点违反直觉，因为在历史上，开源跟商业化都是有冲突的。但我觉得AI跟以前不一样……AI这个事情足够大，最终它可能得占掉人类社会GDP的百分之十，那么它其实是一个非常大的数字。你不可能独占这个事情，你一定得跟别人分享，否则你肯定活不下来。